科普：信号与频谱知识！-电子发烧友网

1. 科普：信号与频谱知识！

信号简介

信号（singal）简介

我们在生活中经常遇到信号。比如说，股票的走势图，心跳的脉冲图等等。在通信领域，无论是的GPS、手机语音、收音机、互联网通信，我们发送和接收的都是信号。最近，深圳地铁通信系统疑似与WiFi信号冲突，也就是地铁的天线收到了WiFi的信号，而误把该信号当作地铁通信信号。我们的社会信息化，是建立在信号的基础上的。

信号是随着时间或者空间变化的序列。在信号处理中，我们常用“信号”来特指一维信号，也就是只随单一一个时间或空间维度变化的序列，这样的信号在数学上可以表示成f（t）或者f（x）这样一个函数。与一维信号形成对应的是多维信号，比如说图像是二维信号，它随x，y两个空间维度变化，从数学上表示成为f（x， y）。下面在没有特别声明的情况下，都使用“信号”来代指一维信号。

尽管信号的使用如此广泛，但信号从数学意义上来并没有什么神秘的地方，只是普通的序列（函数）。信号处理的方法可以通用于任何一个领域的信号（无论是通信、金融还是其他领域），这也是信号处理的魅力所在。

简谐波

简谐波（simple harmonic）

正弦波（sine wave）和余弦波（cosine wave）统称为简谐波。简谐波是自然界最常见的波动。

正弦波

正弦波可以写成函数的形式：

可以看到，一个简谐波三个参数，振幅（A， amplitude）、频率（f，frequency）、相位（phi， phase）。这三个参数分别控制正弦波的不同特征。通过调整它们，我们可以得到不同的正弦波信号。

左上：原始右上：2倍振幅

左下：2倍频率右下：相位移动

可以看到，频率高，“山峰”越密集。振幅高，“山峰”越高。相位改变，“山峰”的位置左右移动。（朋友说我是“用音量控制音调”：唱歌本应该改变频率高低的时候，却在改变振幅的高低。）

余弦波（cosine wave）函数形式与正弦波类似，用cos表示。我们可以通过改变正弦波来从正弦波获得余弦波。

傅立叶变换

傅立叶变换（Fourier Transform）

简谐波虽然简单，但对信号处理具有重要意义。傅立叶是一名工程师，他发现，任何信号实际上都可以通过简谐波相加近似得到。也就是傅立叶定理（Fourier inversion theorem）：任何一个信号都可以由简谐波相加得到。因此，复杂的信号可以分解成为许多个简单的简谐波。一个信号由多个频率的简谐波相加得到。组成信号的某个简谐波，称为信号的一个分量（component）。

比如下图，显示了我们如何用简谐波的叠加来不断趋近蓝色的信号：

来自Wikipedia

傅立叶变换是一套固定的计算方法，用于算出信号的各个分量（也就是上面的an，bn）。在信号处理时，可以将信号进行傅立叶变换，转换为简谐波的组合。通过分别控制各个频率上的简谐波分量，我们可以更加有效的进行信号处理。比如说，我们通信的时候可以使用高频的简谐波信号。但是接收信号的天线可能会收到其他频率的干扰信号。这个时候，我们可以对接收到的混合信号做傅立叶变换，只提取目标高频的分量。这是降低信号噪音的常用方法。傅立叶变换的过程有些复杂，但已经有大量的程序可以帮你进行。你所需要的只是输入信号，计算机会帮你算出它的各个分量。

比如说，如果信号f（x）是周期性的，我们可以将它变换成：

也就是说，一个信号可以看做许多简谐波的和。上面的a，b是可以通过原信号求得的参数为：

a， b代表了信号在各个频率上的简谐波分量的强弱（以及相位）。这样，信号就分解为了简谐波的和。由于简谐波比较容易理解，我们可以通过研究这些分量，来明白复杂信号背后的机制。

频谱

频谱（frequency spectrum）

通过傅立叶变换，我们可以得到一个信号f（t）的不同频率的简谐波分量。每个分量的振幅，代表了该分量的强弱。将各个频率分量的强弱画出来，可以得到信号的频谱。比如下图是从每天降水序列中得到的频谱：

可以看到，以1年为周期的简谐波分量有一个明显的高峰。也就是说，一年周期的分量有比较强。这是有物理原因的。因为降水总是以一年四季为周期有规律的变化。通过信号-》Fourier Transform-》频谱，我们可以从简谐波分量的角度，理解复杂信号是由哪些简谐机制合成的。

图像处理（Image Processing）

傅立叶变换同样可用于多维信号。把傅立叶变换用于二维信号，即图像：

左边是二维信号（图像，f（x，y））。黑白可以用数值表示，即信号值。右边是二维图像的频谱。X轴表示x方向的频率，Y轴表示y方向的频率，黑白表示不同频率分量的振幅强弱。在下面一行中，Lenna被故意加上了噪声，并引起频谱的相应变化。频谱的中心代表了低频信号的振幅，频谱远离中心的地方代表了高频信号的振幅。我们下面和加入噪声的图像比较。