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matlab最优化实验
6.1知识要点与背景
6.1.1 由简入繁： 最佳水槽断面问题的推广
?????
6.1.2 微分法求最大和最小
??????? ◆问题4????? （1）求受检点： ，
?zxy6_1.m
【??? syms x1 x2????????????????????????????????????????? %定义符号变量。
f=x1^3-x2^3+3*x1^2+3*x2^2-9*x1;?? % 函数z。
v=[x1 x2];df=jacobian(f,v)??????????????? %计算雅可比 。?
[X,Y]=solve(df(1),df(2));[X,Y]???????? % 用指令solve求驻点。???????????? 】
??????
?zxy6_2.m
【??? clf,xmin=-5;xmax=3.5;ymin=-3;ymax=5;
x1=linspace(xmin,xmax,30);x2=linspace(ymin,ymax,30);
[X1,X2]=meshgrid(x1,x2);Z= X1.^3.-X2.^3+3*X1.^2+3*X2.^2-9*X1;
contour(X1,X2,Z,60);,hold on,? xp=[-3,1,-3,1];yp=[0 0 2 2];
plot(xp,yp,'ro'),axis([xmin xmax ymin ymax]),colorbar
xlabel('x_1'),ylabel('x_2'),
for i=1:length(xp)
? text(xp(i),yp(i),['\leftarrow (',num2str(xp(i)),',',num2str(yp(i)),')'] )
?????? end????????????? 】
??????
?6.2? 实验与观察(Ⅰ)：模拟盲人下山的迭代寻优法
zxy6_3.m（盲人下山的模拟）
【????? clf, a=-2;b=4;
xmin=a;xmax=b;ymin=a;ymax=b;??? %设置变量范围和坐标轴显示范围。
x1=linspace(xmin,xmax,100);x2=linspace(ymin,ymax,100);
[X1,X2]=meshgrid(x1,x2);
[Z,DZ1,DZ2]=zxy6_3f(X1,X2); %计算函数和梯度向量。
contour(X1,X2,Z,30),?????????????? %画等值线图。
axis([xmin xmax ymin ymax]),hold on,
axis equal,????????????????????????????? %该命令将使横轴、纵轴具有相同比例，避免失真。
plot([1.46808510638298],[1.148936170212776],'o'),? %标注最优点。
axis([xmin xmax ymin ymax])?????????????
x=[];y=[];??????????? %开始用鼠标选点，按左键选点，按右键中止选点过程。
disp('Select a point by put on mouse left-key')??????
????????????????????????????? %disp指令,在命令窗口显示文字。
disp('Stop selecting point by put on mouse right-key')
button=1;???????? %button和ginput命令结合使用可用鼠标选点， 按左键时button＝1。
x=[];y=[];
while button==1???????????????
? [xi,yi,button]=ginput(1);
???????????????????? %ginput(n)用鼠标选n个点，xi,yi分别为点的横坐标和纵坐标。
?? plot([xi],[yi],'r.','MarkerSize',10)，hold on,???????????? %画所选的点。?
?? [zi,dz1,dz2]=zxy6_3f(xi,yi);?????????????????????? %计算函数值和梯度方向。
?? v=zi;
?? contour(X1,X2,Z,[v v],'-'),???????????? %在点所在的高度画一条等高线。???
?? axis([xmin xmax ymin ymax]),
?? x=[x,xi];y=[y,yi];??????
?? H_line2=plot(x,y);????????????????????????????????? %画已走的路径连线。
?? set(H_line2,'color','red','linewidth',2);???? %设置颜色和线宽。
?????? xt=xi-dz1;yt=yi-dz2;
?????? H_line=plot([xi xt],[yi yt],'k:','linewidth',1);??? %画最速下降方向路径。
?? end?????????? %若按左键button=1，继续循环。若按右键，button~=1,循环终止 。 】
zxy6_3f.m（模拟山谷的二次函数程序）
【???? function [f,df1,df2]=zxy6_4f(x1,x2)
?f=8*x1.*x1+9*x2.*x2-10*x1.*x2-12*x1-6*x2;?????? %计算函数值。
?if nargout > 1
?? df1=2*8*x1-10*x2-12*ones(size(x1));??????????????? %计算梯度向量。
?? df2=2*9*x2-10*x1-6*ones(size(x2));
end?? ????????????】
6.3 .实验与观察（Ⅱ）：Matlab优化工具箱简介
6.3.1多元函数无约束优化指令fminunc和fminsearch
1. 观察：运行香蕉函数的优化程序bandemo.m
????
2. 使用fminunc和fminsearch指令
????
??????? ◆ 观察：用inline生成函数。
【????? f=inline('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'),
??? x=[2,2],y=f(x),??? %代入一个点计算看看效果 。???????????? 】
3. bandemo.m的简化和剖析
zxy6_4.m
【 clf;? clear???????????????????
?????? %以下程序段是画香蕉函数图形。
xx = [-2:0.125:2]'; yy = [-1:0.125:3]'; [x,y]=meshgrid(xx',yy') ;
meshd = 100.*(y-x.*x).^2 + (1-x).^2; conts = exp(3:20);
xlabel('x1'),ylabel('x2'),title('Minimization of the Banana function')
contour(xx,yy,meshd,conts), hold on
plot(-1.9,2,'ro'),text(-1.9,2,'Start Point')
plot(1,1,'ro'),text(1,1,'Solution')
%优化程序段开始。
x0=[-1.9,2];??????? %赋初值。
l=1;
while l?????????? %while 语句是可以重复运行下面的程序段，直至l=0退出循环。
???????? clc???????????????? %清除命令窗口的全体内容 。
%以下程序段是在命令窗口显示相应的文字内容 。?
??????? disp(' ')
??????? disp('?? Choose any of the following methods to minimize the …?
?????????????????? banana?? function')
??????? disp('')???????
??????? disp('??? UNCONSTRAINED:??? 1) BFG direction ')
??????? disp('???????????????????????????????????? 2) DFP direction')
??????? disp('???????????????????????????????????? 3) Steepest Descent direction')
??????? disp('???????????????????????????????????? 4) Simplex Search')
??????? disp('???????????????????????????????????? 0) Quit')
??????????????????? method=input('Select method : ');? % input 从键盘输入控制变量method数据。
? switch method???????? %Switch体开始。
???? case 0???????????? %当method＝0，终止程序。
??????? hold off
??????? disp('End of demo')
??????? break???????????????????????? %break指令：中止程序。
???? case 1????????????? %当method＝1，采用BFGS法。
??????? clf,hold on??? %每一个case中重新画等值线图,下面的程序段是重新画图。
??????? xlabel('x1'),ylabel('x2'),
??????? title('Minimization of the??? Banana function')
??????? contour(xx,yy,meshd,conts)
??????? plot(-1.9,2,'ro'), text(-1.9,2,'Start Point')
??????? plot(1,1,'ro'), text(1,1,'Solution')
????????????? % 这里是学习的重点： OPTIONS是控制fminunc和fminsearch指令的重要参数，
?????? %用optimset('属性'，'属性值',…)指令改变设置，可以容易地控制算法。
??????????? OPTIONS=optimset('LargeScale','off');?
???????????? %fminunc默认的大规模算法是“信赖域方法”，这是一种有效的算法；
?????? %将LargeScale的属性设置为off时,fminunc的默认中等规模的算法就是BFGS方法。??????
??????????? OPTIONS = optimset(OPTIONS,'gradobj','on'); %使用解析梯度。
????????? %定义梯度函数和画图函数banplot6_4。
GRAD=inline('[100*(4*x(1)^3-4*x(1)*x(2))+2*x(1)-2;…
???????????????????? 100*(2*x(2)-2*x(1)^2); banplot6_4(x)]');??
f=inline('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'); %定义目标函数。
?????????? disp('[x,fval,exitflag,output] = fminunc({f,GRAD},x0,OPTIONS);');
????????????? %（调用fminunc指令，输出x,fval分别为最优点和最优函数值，exitflag和output
????? % 提供算法的一些信息,读者可在程序结束后，键入output或exitflag查看这些信息）
????????????? [x,fval,exitflag,output] = fminunc({f,GRAD},x0,OPTIONS);
??????? hold off
??????? disp(' ')
??????? disp('Strike any key for menu')
??????? pause
??????????? case 2????? %当method＝2，采用DFP法。
?????? clf,? xlabel('x1'),ylabel('x2'),
?????? title('Minimization of the Banana function')
?????? contour(xx,yy,meshd,conts),? hold on
??????? plot(-1.9,2,'ro'),?? text(-1.9,2,'Start Point')
??????? plot(1,1,'ro'),???? text(1,1,'Solution')
?????? OPTIONS=optimset('LargeScale','off');
?????? OPTIONS = optimset(OPTIONS,'gradobj','on');
??????? OPTIONS=optimset(OPTIONS,'HessUpdate','dfp');?????
???????????????? % 将HessUpdate属性设置为dfp就使fminunc指令采用DFP法。
??????? GRAD=inline('[100*(4*x(1)^3-4*x(1)*x(2))+2*x(1)-2;…
?????????????????????????????? 100*(2*x(2)-2*x(1)^2); banplot6_4(x)]');
??????? f=inline('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2');
??????? disp('[x,fval,exitflag,output] = fminunc({f,GRAD},x0,OPTIONS);');
??????? [x,fval,exitflag,output] = fminunc({f,GRAD},x0,OPTIONS);
??????? hold off
??????? disp(' ')
??????? disp('Strike any key for menu')
??????? pause
???? case 3?? %当method＝3，采用最速下降法。
????? clf,?? xlabel('x1'),ylabel('x2'),
????? title('Minimization of the Banana function')
??????? contour(xx,yy,meshd,conts)
??????? hold on
??????? plot(-1.9,2,'ro'),? text(-1.9,2,'Start Point')
??????? plot(1,1,'ro'),???? text(1,1,'Solution')
?????? OPTIONS=optimset('LargeScale','off');
?????? OPTIONS = optimset(OPTIONS,'gradobj','on');
?????? OPTIONS=optimset(OPTIONS,'HessUpdate','steepdesc');
????????????? %将HessUpdate属性设置为steepdesc就使fminunc指令采用最速下降法。
?????? GRAD=inline('[100*(4*x(1)^3-4*x(1)*x(2))+2*x(1)-2;…
??????????????????????????? 100*(2*x(2)-2*x(1)^2); banplot6_4(x)]');
?????? f=inline('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2');
?????? disp('[x,fval,exitflag,output] = fminunc({f,GRAD},x0,OPTIONS);');
?????? [x,fval,exitflag,output] = fminunc({f,GRAD},x0,OPTIONS);
??????? hold off
??????? disp(' ')
??????? disp('Strike any key for menu')
??????? pause
??? case 4????????? %当method＝4，采用单纯形方法。
??????? clf,hold on,? xlabel('x1'),ylabel('x2'),
??????? title('Minimization of the Banana function')
??????? contour(xx,yy,meshd,conts),
??????? plot(-1.9,2,'ro'),? text(-1.9,2,'Start Point')
??????? plot(1,1,'ro'),????? text(1,1,'Solution')
?????? OPTIONS=optimset('LargeScale','off');
??????? OPTIONS = optimset(OPTIONS,'gradobj','off');
???????????? %该方法不使用导数，所以要设置gradobj属性为off。
?????? f=inline('[100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2; banplot6_4(x)]');
???????????? %如果要画迭代过程的中间图，就要编制一个画图程序 banplot6_4，
???????????? % 套用本程序的格式定义目标函数。
?????? disp('[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(f,x0,OPTIONS);');
?????? [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(f,x0,OPTIONS);
?????????????? %fminsearch 是多变量函数寻优的单纯形法指令，用法和fminunc是类似的。???????
??????? hold off
??????? disp(' ')
??????? disp('Strike any key for menu')
??????? pause
??? end
?end?????????????????????????????????????? 】
?banplot6_4.m
【function out =? banplot6_4(x)
plot(x(1),x(2),'O','Erasemode','none')
drawnow;???????? % Draws current graph now
out = [];????????????????????????????? 】
?6.3.2其它的优化算法指令
1.多变量约束优化指令fmincon
2. 线性规划linprog指令
【??? f = [-5; -4; -6]; A =? [1 -1? 1;3? 2? 4;3 2 0];b = [20; 42; 30];
lb = zeros(3,1); x0=[1,1,0];
options=optimset('Diagnostics','on', 'largescale','off');???
???????? %查看诊断信息并采用单纯形算法
[x,fval,exitflag,output,lambda]= …linprog(f,A,b,[],[],lb,[],x0,options)
???????? %没有等式约束且变量无上界,故需置Aeq=[ ];Aeb=[ ]；ub=[ ];?????????????? 】
3. 二次规划quadprog指令
4. 一元函数寻优fminbnd指令
5.非线性最小二乘指令lsqnonlin和非线性数据拟合指令lsqcurvefit??
程序如下（zxy6_5.m）
【??? clf;x=1:10; y=2+2*x;??????????????????????????????????? %选直线上的10个点。
a0=[0.1,0.4]; y1=exp(x*a0(1))+exp(x*a0(2));? %计算一条曲线。
[a,resnorm,residual] = lsqnonlin('zxy6_5f',a0); % 求最优解初始点a0。
disp('a='), disp(a);
disp('resnorm='), disp(resnorm)
y2=exp(x*a(1))+exp(x*a(1));
plot( －x,y,x,y1,'r:',x,y2,'o-',x,residual,'.-'),grid on
legend('直线','猜测的曲线','解曲线','残差')???????????????????????? 】
函数子程序为（zxy6_5f.m）
【??? function F = zxy6_5f(a)
x = 1:10;
F = 2 + 2*x-exp(a(1)*x)-exp(a(2)*x);??????????????????? 】
{???? Optimization terminated successfully:
Norm of the current step is less than OPTIONS.TolX
a=??? 0.2578??? 0.2578
6.4 应用、思考与练习
6.4.1 .计算最佳水槽断面面积
zxy6_6S.m
【????? function s=zxy6_6S(x)
?? l=24;a(1)=x(3);a(2)=x(4);?? xs0=(0.5*l-x(1)-x(2));
?? xs1=xs0+x(1)*cos(a(1));???? xs2=xs1+x(2)*cos(a(2));
?? h1=x(1)*cos(a(1));???????????? h2=x(2)*cos(a(2));
?? s=(xs0+xs1)*h1+(xs1+xs2)*h2;s=-s;??????????????????? 】
zxy6_6.m
【??? clf,A=[1,1,0,0;-1,-1,0.0,0.0];b=[12,0]';
?????? lb=[0,0,0,0]';ub=[100,100,pi/2,pi/2]';x0=[4,4,pi/3,pi/3]';
????? [s,fval] = fmincon('zxy6_6S',x0,A,b,[],[],lb,ub)?????? %最优化计算
???????? %以下是绘制最优断面的图形，首先计算坐标点。将底边放在x轴上，并让断面关于
?%y轴对称。逆时针计算坐标点，使之成为一个封闭的图形)
????? x(1)=(24-2*s(1)-2*s(2))/2; y(1)=0;
x(2)=x(1)+s(1)*cos(s(3));? y(2)=s(1)*sin(s(3));
x(3)=x(2)+s(2)*cos(s(4));? y(3)=y(2)+s(2)*sin(s(4));
x(4)=-x(3); y(4)=y(3);x(5)=-x(2); y(5)=y(2);x(6)=-x(1); y(6)=y(1);
x(7)=x(1);y(7)=y(1);??????? %首尾相接。
%plot(x,y),axis equal?????? %用这命令可画出封闭图形。
patch(x,y,'y'); axis equal,? %用patch命令画块对象并填充颜色。???? 】
{????? s =??? 4.8000??? 4.8000??? 0.6283??? 1.2566
?fval =? -88.6373??????????????????????????????????????????? }
6.4.2? 对约束优化的讨论
6.4.3.工程优化问题的计算
1. 啤酒配方问题: 线性规划
2.? 储能飞轮的设计
3.? 齿轮减速器设计
工商网监
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