探讨RC电路在逆变器设计中的应用与限制

不可能用简单的RC电路制作逆变器，我们注意到逆变器的重要性，因为这些设备在光伏系统中至关重要。不幸的是，重现一个完美的正弦波形(频率f0 = 50/60 Hz)非常困难，甚至是不可能的。这意味着必然存在与f0成倍的谐波，如果系统没有适当屏蔽，这些频率将产生电磁辐射，从而干扰其他传输/接收设备。

积分电路

练习1：考虑施加在具有时间常数τ = RC的积分器电路上的以下输入：

其中：A = 10 V，τ0 = 1 s是特征时间，T = 8 s是周期。信号行为如图1所示。该输入是具有时间常数τ0的阻尼RLC电路的输出，该电路每8秒回到初始状态。因此，输入信号的频率为f0 = 1/8 Hz。

编写一个Wolfram机器程序，可以重构输出信号，区分τ ≠ τ0和τ = τ0的情况。用这样的设备能否制造逆变器?

解析解

这个练习的(表面)困难在于R和C值未知，但它们的乘积RC = τ(自由参数)。在之前的教程中，我们看到由基尔霍夫第二定律导出的微分方程包含时间常数τ和电阻值R，我们还必须添加电荷的初始条件，该条件可能是非零的(在这种情况下，电容器初始是充电的，因为它经历了先前的瞬态)。

通过解析地解决问题，在最后一步，即计算输出信号时，变量R消失，因此问题得到解决。然而，直接写出一个微分方程，其中未知函数不是电容器板上的电荷q(t)，而是它们之间的电势差，即输出vout，这在计算上更简单。

这是由于电荷和电容器电容之间的线性关系：q = Cvout。我们邀请读者执行所有步骤，这些步骤并不复杂，以得出上述必须用显然的初始条件vout(0) = Cq(0) ≡ v(0)来解决的微分方程。

然而，有趣的情况是电容器初始未充电的情况，此时vout(0) = 0。这样，仅在初始值下此问题的唯一解在图2中给出，从中可以看出“积分器电路”这一表达的含义，因为输入通过一个积分进行处理。

这里出现一个问题：当积分器电路的时间常数与输入的时间常数重合时，vout(t)的解析表达式不能使用，因为该表达式返回不确定形式0/0。如所周知，在这种情况下，微分方程在τ = τ0时被重写，然后进行积分。

在图3中，我们比较了输出的趋势与输入的趋势，对于以下τ值，四舍五入到小数点后三位：τ = 0.002，1.002，2.002，3.002 s。注意，第二个值接近τ0。我们因此看到，当τ趋近于零时，输出趋近于输入。在相反的极限(τ → +∞)中，输出趋近于完全为零的信号，正如预期中那样，因为在这个极限下，电阻或电容趋近于+∞。

关于实现逆变器的可能性，答案是否定的，因为这需要一个更复杂的设备。从积分函数的符号(图2)可以看出这一点，该符号显然是正的。根据定积分的已知性质，我们得到这样的符号在[0, t]内定义了积分。

重置微分方程为τ = τ0并求解，我们得到图4和图5，其中我们首先在周期性区间比较vout(t)与vin(t)，然后在[0, 80 s]内进行比较。

使用Mathematica的解法

一旦设置了适当的Wolfram机器微分方程，将τ作为自由参数，如果我们尝试绘制τ = τ0的解，内核将尝试通过执行除以0的操作来消除不确定形式0/0，随之而来的是错误消息。我们可以将WM分成两个不同的WM，一个用于τ ≠ τ0，另一个用于τ = τ0，但更优雅的做法是设置一个IF循环，如图6的屏幕截图所示，我们突出了相应Mathematica代码的一些重要方面。

关于整个代码的PDF格式，我们参考文献1。首先，不能使用延迟赋值“:=”，这告诉内核仅在新输入调用时确定相应的表达式(函数、指令、其他)。这种类型的赋值用于递归程序和缓存技术，但在处理导数等时会产生问题。

例如，如果我们使用延迟赋值来确定某个函数f(x)的导数，然后询问在某个特定点x0的导数值，内核首先在f(x)的解析表达式中替换x0的值，然后再计算导数，随之而来的是明显的错误消息(实际上应该为零，因为常数的导数为零)。可以使用强大的Evaluate指令，或者更简单地使用直接赋值“=”。

对于微分方程而言，情况更复杂，仅使用直接赋值是不够的，而需要插入Evaluate，我们在后缀表示法中使用它以避免括号的过度使用。代码被正确解释，我们通过与解析结果进行比较进行了若干检查。

关于IF循环，众所周知，它是传统编程语言的典型特征，在Mathematica中，其语法如下(*之间的字符串是被内核忽略的注释条目)：

If[ (*condition*) expr, (*then*),

t (*else*) p

]

也就是说，如果expr为真，内核执行t，否则执行p。例如：

复制In[1]=test[x_] := If[ x^3 > 14,

Print[“正确答案。结果为:” , x^3], Print[“错误答案”]

]

In[2]=test[2]

错误答案

In[3]=test[3]

错误答案

正确答案。结果为:216

结论

尽管“封装”软件如Mathematica/Maple、Maxima等表现得像一个黑箱，因为它们不允许直接访问代码，但在许多应用中，它们极其灵活，允许用几行代码解决复杂问题(这种情况是传统编程语言如Fortran或C无法实现的)。